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老怪《SU曲面建模》系列講座第03節(jié)
SketchUp 曲面基礎(chǔ)（二）  SketchUp幾何詳述



1，SketchUp幾何概述
我國人教版七年級上冊（初一第一學期）的數(shù)學課本里就有“點線面體”的內(nèi)容?；靖拍钍牵狐c動成線，線動成面，面動成體。高一年級的數(shù)學課程里又有“點線面體”，名稱一樣、內(nèi)容深度卻跟初中不一樣。高中微積分初步和大學的微積分里都有對“點線面體”的研究……點積分成線，線積分成面，面積分成體……大致如此。從初中到大學都有類似的知識點，可見“點線面體”概念的重要性。
人類生活在三維的空間里（嚴格講還有第四個維度，即時間維度，它代表著世間萬事萬物的千萬種可能性，因與本書的關(guān)系不大，暫且放過不提）因為是三維空間，所以就有了三個互不干擾的方向ｘｙｚ，我們可以用ｘｙｚ一組三個數(shù)字來講清楚一個“點”在三維空間里的位置。幾何學中的“點”不占用空間，只是個空間位置；點作為最簡單的圖形概念，通常是幾何學、物理學、矢量圖形和其他很多領(lǐng)域中最基本的組成部分。如果還有另外一組用ｘｙｚ表征的點，跟第一個點連起來就有了“線”；三組ｘｙｚ代表的點就能夠得到一個面，這些是誰都知道的道理，同樣也是SketchUp與許多其它軟件底層核心算法的基礎(chǔ)。
SketchUp用戶，對于“點、線、面、體”的認識與運用，還有豐富得多的內(nèi)容。

1.1，SketchUp里的“點 Point”與“頂點Vertex”
1）首先，在SketchUp里的“點”，并不象數(shù)學里描述的那樣，只是個“0維”的空間概念。在SketchUp里，“點”不僅僅是個空間位置，它還有實實在在的可見性、可用性與不可或缺性，“點”可由SketchUp自動生成，也可以人為創(chuàng)建；譬如一條直線的兩個“端點”和一個“中點”，兩條直線相交后新產(chǎn)生的端點（頂點Vertex）與中點；一條曲線上的很多端點與中點。我們也可以人為創(chuàng)建“構(gòu)造點（輔助點）”……
2）其次，我們可以用方括號“[x,y,z]”的形式輸入“絕對坐標”；或者用尖括號“<x,y,z>”形式輸入“相對坐標”，它們都可以定義一個三維空間里的點；但我們很多SketchUp用戶甚至都不知道還可以用這種辦法輸入坐標位置來建模，所以很多人從來就不用這種方法。
3）在SketchUp里建模，當光標移動到某些特定的位置時，會有明確的提示——當前是端點，中點……在建模時，時常要利用、甚至尋找這些點來作為新建幾何體的起點或參照點。
4）SketchUp中，不同邊線（Edge）的交點也可稱為“Vertex 頂點”，它在創(chuàng)建模型的過程中有著舉足輕重的作用，尤其對于曲面的編輯不可或缺。

1.2  SketchUp里的“線”“Edge邊線 ”
在幾何學中，線是點運動的軌跡，又是面運動的起點，幾何學中的線只具有位置和長度；而SketchUp里的線（邊線 Edge）非但可見，還有很多不同的定義、屬性和用途：
1）SketchUp里的直線，垂線、斜線、折線……每個線段都有兩個端點與一個中點。
2）SketchUp里還有另外一種以虛線形式存在的直線，通常用來做參考線或輔助線。
3）直接來源于SketchUp原生工具的曲線只有圓，弧線和手繪線。
4）SketchUp可以用插件生成很多種普通與高階的曲線，如僅Bezier Spline (貝茲曲線）一個插件就可以用來繪制“多段線”“B樣條曲線”“F樣條曲線”“螺旋線”“經(jīng)典與高階的貝茲曲線”……拋物線、雙曲線、橢圓，波浪線、蛇形線等都可以在SketchUp里實現(xiàn)。
5）重要！ SketchUp里的所有曲線，無論看起來多么圓滑可愛無暇，其實都是“折線”也就是說SketchUp的所有曲線都是以很多小線段“擬合”而成的。這是非常重要的概念。
6）重要！ SketchUp里的所有曲線都可以用改變線段數(shù)量的辦法調(diào)整其平滑度。確定足夠又不過份多的線段數(shù)量在建模過程中至關(guān)重要，甚至涉及能否順利完成模型。

1.3  SketchUp里的面（Face）
SketchUp里的面（Face）大致可分成三類，幾何形，修整形，與自然形：
1）幾何形（或規(guī)則形）：是可以用數(shù)學方法描述與構(gòu)成的類型，由直線或曲線，或直曲線相結(jié)合形成的面。如正方形、長方形、三角形、梯形、菱形、圓形、半圓形、橢圓形、五角形等，具有簡潔明快的秩序感，被廣泛地運用在建筑、實用器物等造型設(shè)計中。
2）修整形（也稱不規(guī)則形）：是指人為創(chuàng)造的自由構(gòu)成的，可隨意地運用各種自由的、徒手的線條經(jīng)過人為修整構(gòu)成的面，具有人工造型特征和鮮明的個性。
3）自然形：是一種不可用數(shù)學方法描述與生成的自然形態(tài)，富有純樸的視覺特征。如自然界的鵝卵石、樹葉、瓜果外形，以及人體外形……等都是自然形；可以在SketchUp里用對照實物照片描繪輪廓的辦法獲取這一類面。
4）重要概念！SketchUp跟大多數(shù)“多邊面”Polygon（Poly）建模工具一樣，都是以“三邊面”為底層內(nèi)核算法的三維建模工具（各種軟件在人機界面的表現(xiàn)可能不同）SketchUp模型里只有少數(shù)是真正的四邊面，大多數(shù)（人工修改后的）四邊面是由兩個三邊面拼合后隱藏掉對角線的“折面”，這個問題在后面的章節(jié)中還會多次重復提出討論與研究。

1.4  SketchUp的曲面（Camber）
根據(jù)不同的分類標準，曲面有許多不同的分類方法，一并列出供參考，下一節(jié)還要討論。
1）根據(jù)母線運動方式分類
l 回轉(zhuǎn)面：由母線繞一軸線旋轉(zhuǎn)而形成的曲面；
l 非回轉(zhuǎn)面：由母線根據(jù)其他約束條件運動而形成的曲面。
2）根據(jù)母線的形狀分類
l 直紋曲面：凡是可以由直母線運動而成的曲面，如圓柱面、圓錐面、橢圓柱面、橢圓錐面、雙曲拋物面、錐狀面和柱狀面等；
l 雙曲曲面：只能由曲母線運動而成的曲面，如球面、環(huán)面等。
l 同一個曲面可能由幾種不同的運動形式形成，如圓柱面，即可以看做是直線繞著與之平行的軸線做旋轉(zhuǎn)運動而成，也可以看做是一個圓沿軸向平移而形成的。
3）根據(jù)曲面能否展成平面分類
l 可展曲面：能展開成平面的曲面。如柱面、錐面；
l 不可展曲面：不能展開成平面的曲面，如橢圓面、橢圓拋物面、曲線回轉(zhuǎn)面。
l 一般只有直紋曲面才有可展曲面與不可展曲面之分，雙曲曲面都是不可展曲面。

1.5  SketchUp里的“體”（Entity）
幾何學中的“體”可以解釋為“多個面圍成的幾何體”也可以解釋為“占有一定空間的幾何體”； 即：一個規(guī)則圖形，通過旋轉(zhuǎn)、平移等運動，形成的軌跡變成的三維圖形稱為“體”。而SketchUp里的“體 （Entity）”的形態(tài)還要更多一些，大概包括以下幾類：
1）經(jīng)典柱體：包括圓柱和棱柱。棱柱又可分為直棱柱和斜棱柱，按底面邊數(shù)的多少又可分為三棱柱、四棱柱、N棱柱……
2）經(jīng)典錐體：包括圓錐體和棱錐體，棱錐分為三棱錐、四棱錐及N棱錐……   

2，SketchUp的曲線與曲面
這一節(jié)的內(nèi)容將分成兩大部分來介紹與討論：分別為“關(guān)于曲線”與“關(guān)于曲面”。內(nèi)容可能會有點枯燥。雖然這本書的內(nèi)容（包括在SketchUp實際建模操作）多少跟數(shù)學與幾何學有關(guān)，但它終究不是以研究討論數(shù)學或幾何學為最終目標的，所以下面的內(nèi)容中，除了實在有必要的部分之外，盡可能直接給出通俗易懂的結(jié)果，避免枯燥乏味的過程推導。如果有興趣深入研究相關(guān)的理論基礎(chǔ)，可查閱04節(jié)文后附上的參考文獻。

2.1關(guān)于“曲線”
曲線是構(gòu)建曲面的基礎(chǔ)，在曲面的理論研究與應(yīng)用中占有非常重要的地位。想要討論“曲面”就離不開先要了解“曲線”， 所以現(xiàn)在就從“曲線”開始。

2.1.1，曲面的基礎(chǔ)——曲線
“曲線”是“點”運動的軌跡。按照點運動時有無一定的規(guī)律，曲線可分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線。按曲線上各點的相對位置，曲線又可分為平面曲線與空間曲線。
1）平面曲線：移動的各點都位于同一平面上的曲線是平面曲線，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線、漸開線、阿基米德渦線等，研究平面曲線的工具是平面解析幾何。
2）空間曲線：任意連接四點不位于同一平面的曲線就是空間曲線，如各種螺旋線以及曲面在一般情況下相交所形成的交線；研究空間曲線的工具是微積分。

2.1.2，曲線的結(jié)構(gòu)特征
因為曲線是點的集合，所以畫出曲線上的一系列的點，并將各點依次光滑連接得到該曲線，這是繪制曲線的一般方法。若能畫出曲線上一些特殊的點，如最高點、最低點、最左點、最右點、最前點及最后點等，并光滑連接則可更確切地表示曲線。

2.1.3，曲線的“階次”
我們時常會見到以“階次”的高低來描述曲線。曲線階數(shù)的值越大，受控制點的影響越?。ㄒ簿褪窃娇梢跃_調(diào)整）曲率就更加平緩順滑。當階數(shù)為1時就是折線。多項式中的最大指數(shù)稱為多項式的“階次”；例如6x3+3x3-8x=10 的階次為3階；而5x4+6x3-7x=10 的階次為4階。
其實曲線的階次僅用于判斷曲線的復雜程度，而不是精確程度。曲線的階次越高，曲線就越復雜，計算量就越大。使用低階曲線則更加靈活，更有利于后續(xù)操作（如顯示、編輯與分析等）運行速度也更快。還便于與其他計算機輔助設(shè)計系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)交換，所以許多計算機輔助設(shè)計工具通常只接受三次曲線。一般來講，最好使用低階曲線，這就是各種計算機輔助設(shè)計軟件中默認的曲線階次都為低階的原因。SketchUp當然也不例外。

2.1.4，曲線的形式
曲線按數(shù)學形式分類可以分為直線、二次曲線（如圓弧、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）、樣條曲線等。樣條曲線又可分為B樣條曲線和非均勻有理B樣條曲線等，因為非均勻有理B樣條曲線現(xiàn)已作為世界工業(yè)標準，所以一般無特別說明的，都指非均勻有理B樣條曲線“Non-Uniform Rational B-Splines”即縮寫“NURBS”（請查閱前一節(jié)的介紹）
曲線的連續(xù)性通常有點連續(xù)、切線連續(xù)、曲率連續(xù)，以曲率連續(xù)最為光滑。

2.1.5，規(guī)則曲線
規(guī)則曲線就是按照一定規(guī)律分布的曲線。規(guī)則曲線根據(jù)結(jié)構(gòu)分布特點可分為平面和空間規(guī)則曲線，分別介紹如下；

1）平面規(guī)則曲線：凡曲線上所有的點都屬于同一平面，則該曲線稱為平面曲線。常見的圓、橢圓、拋物線和雙曲線等可以用二次方程描述。見下圖。平面曲線的投影性質(zhì)（略）

圖1.3.1 平面規(guī)則曲線

2）空間規(guī)則曲線：凡是曲線上有任意四個連續(xù)的點不屬于同一平面，則稱該曲線為空間曲線。常見的空間規(guī)則曲線有圓柱螺旋線和球面螺旋線等，如下圖①②③是三種空間規(guī)則曲線的正視圖，④⑤⑥所示的是①②③對應(yīng)的俯視圖。


圖1.3.2  空間規(guī)則曲線


2.1.6，不規(guī)則曲線
又稱自由曲線，是指形狀比較復雜、不能用二次方程準確描述的曲線。其涉及的問題有兩個方面：一是被修改過的自由曲線，使其滿足設(shè)計者的要求，如下圖②。二是由已知的離散點確定的曲線，如下圖①。使用平面離散點獲得曲線特征，則必須首先通過擬合方式形成光滑的曲線。離散點確定了曲線的大致形狀，擬合就是強制曲線沿著這些點繪制出樣條曲線。擬合的方法大致有“插值擬合”如下圖①所示與“逼近擬合”如下圖②所示等（見圖知意，不展開討論）


圖1.3.3   不規(guī)則曲線例（插值擬合與逼近擬合）



2.2，關(guān)于“曲面”
曲面可看成是一條動線（母線），在給定的條件下，在空間連續(xù)運動的軌跡。常見的有平面、旋轉(zhuǎn)面和二次曲面。圓錐的側(cè)面是曲面，但展開后是平面。

2.2.1 曲面的分類
1）根據(jù)形成曲面的母線形狀分類，曲面可分為：
l 直線面：由直母線運動而形成的曲面。如下圖①②③所示。
l 曲線面：由曲母線運動而形成的曲面。如下圖④和⑤所示。紅線為旋轉(zhuǎn)軸。

圖1.3.4  直線面與曲線面

2）按曲面形成的原理分類（不展開詳細討論）
l 函數(shù)曲面：是指能由解析函數(shù)表達來表示的曲面，又稱解析曲面。如常見的球面、橢球面、圓柱面、雙曲拋物面等。這些曲面都屬于二次曲面。所謂二次曲面，即曲面的解析表達式是最高次數(shù)為2次的代數(shù)表達式。
l 自由曲面：當曲面不能由解析函數(shù)表達式來表示時，稱之為自由曲面。

2.2.2 曲面的結(jié)構(gòu)特征
所有的面都可以歸類為曲面。平面是曲面的一種，平面是曲率為0的曲面。常見的曲面還有旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面、直紋面、可展曲面、極小曲面、多面曲面、單側(cè)曲面等。

1）旋轉(zhuǎn)曲面，也稱回轉(zhuǎn)曲面，是一類特殊的曲面，它是一條平面曲線繞著它所在的平面上一條固定直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面。該固定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸，該旋轉(zhuǎn)曲線稱為母線。曲面和過旋轉(zhuǎn)軸的平面的交線稱為經(jīng)線或子午線，見下圖①；曲面和垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面的交線稱為緯線或平行圓。見下圖②。

2）二次曲面直線與二次曲面相交于兩個點；如果相交于三個點以上，那么此直線全部在曲面上。這時稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行平面所截，其截線是二次曲線。通常我們將三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面，如下圖③④所示。平面叫做一次曲面。


圖1.3.5   旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

有人統(tǒng)計過，二次曲面可歸納為12種，如下所列：（截圖略）
(1)圓柱面(Cylindrical surface)
     (2)橢圓柱面(Elliptic cylinder)
     (3)雙曲柱面(Hyperbolic cylinder)
     (4)拋物柱面(Parabolic cylinder)
     (5)圓錐面(Conical surface)
     (6)橢圓錐面(Elliptic cone)
     (7)球面(Sphherical surface)
     (8)橢球面(Ellipsoid)
     (9)橢圓拋物面(Elliptic paraboloid)
     (10)單葉雙曲面(Hyperboloid of one sheet)
     (11)雙葉雙曲面(Hyperboloid of two sheets)
     (12)雙曲拋物面(馬鞍面)(Hyperbolic paraboloid)



3）直紋面 可以描述為直線掃過的一組點形成的面，如下圖①②③⑤⑥所示。如保持線的一個點固定，另一個點沿著圓移動形成錐體如下圖④所示。如果通過其每個點都有兩條不同的線，那么表面是雙重的。雙曲拋物面和雙曲面是雙重曲面（截圖略）。

4）直紋曲面  在幾何學中“由一條直線通過連續(xù)運動構(gòu)成的曲面則可稱其為直紋曲面”最常見的直紋曲面是平面、柱面和錐面。著名的莫比烏斯環(huán)也是直紋曲面（截圖略）


圖1.3.6   直紋面與直紋曲面

5）可展曲面  是在其上每一點處高斯曲率為零的曲面。有個一般性的定理表明：一片具有常數(shù)高斯曲率的曲面能夠經(jīng)彎曲（非拉伸、收縮、皺褶或撕裂）而變?yōu)槿魏我黄哂邢嗤?shù)高斯曲率的曲面。圖1.3.7是兩個例子。
   圖1.3.7   可展曲面例

6）經(jīng)典旋轉(zhuǎn)體：包括圓柱、圓臺、圓錐、球、球冠、弓環(huán)、圓環(huán)、堤環(huán)、扇環(huán)、棗核形等……。
7）跟隨體：一個截面沿路徑連續(xù)移動形成的“體”形狀千變?nèi)f化無窮無盡。（略）
8）修整體：經(jīng)修整后的原始幾何體，修整可能是移動過頂點、線或面或經(jīng)布爾運算。
9）點云體：這是傳統(tǒng)經(jīng)典幾何學里沒有的幾何體類別，以光學掃描或非光學手段獲得的數(shù)據(jù)創(chuàng)建的幾何體。

3，SketchUp里立體的分類
  在展開討論SketchUp如何實現(xiàn)曲面創(chuàng)建之前，先回顧一下幾何學里“立體的分類”，幾何學里把立體分成“曲面立體”與“平面立體”，分別簡述如下：（例子都是理想的“正幾何體”）

1）曲面立體：是由曲面或曲面與平面圍成的基本幾何體。常見的曲面立體如下圖所示：有圓柱 ①、圓錐 ③、半球體④，圓環(huán) ⑤，正半球⑥，等；圓錐被截頂則成了如②所示的“錐臺”。曲面立體的曲表面可以看作是母線繞軸線回轉(zhuǎn)而形成的，因此，這類曲面立體又稱為“回轉(zhuǎn)體”，其曲表面稱為“回轉(zhuǎn)面”。


圖1.4.1 曲面立體例

2）平面立體：由若干平面圍成的基本幾何體稱為平面立體。平面立體主要有棱柱和棱錐兩種。棱柱的棱線互相平行，如下圖①與④，棱錐的棱線交于一點，如下圖②與⑤，棱錐被截頂則形成“棱臺”如下圖的③和⑥。
圖1.4.2   平面立體

3）SketchUp里的多面體  3D建模領(lǐng)域廣泛應(yīng)用著三邊面和四邊面作為基礎(chǔ)拓撲單元，有些特殊的地方還使用五邊面、六邊面和七邊面，請看下圖的一些實例：①②是兩個以三邊面為基礎(chǔ)單元的幾何體；③所示的三個對象，看起來都是以四邊面為基礎(chǔ)的幾何體，其實只有圓環(huán)才是，兩個球體的南北極都是三邊面；④是個十二面體，全部由五邊面組成；⑤是六邊面和五邊面混合而成的球體。
有些聲稱可以把三邊面轉(zhuǎn)換成四邊面的工具，其實是把兩個相鄰的三邊面合并在一起，隱藏了拼合的對角線，看起來像是四邊面，其實質(zhì)仍然是三邊面，這種四邊面稱為“non-planar quads”也就是“非平面四邊面”，這是SketchUp曲面建模中要記住的一個重要概念。


圖1.4.3  多面體

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